可加性是指对于某种变换来说，特定的“加法”和该变换的顺序可颠倒而不影响结果，这样一种性质。

例如对于两个实数 x 和 y，我们可以先执行加法 x+y、后把结果乘以二；也可以先各自乘以二然后再相加，满足分配律。那么我们说变换“乘以二”具有可加性。

定义

一个函数 $f:A\to B$，其定义域 $A$ 和陪域 $B$ 上分别定义了某种加法 ${+}_A$ 和 ${+}_B$。若该函数满足：对于任意 $x,y\in A$，有 $f(x{+}_{A}y)=f(x){+}_{B}f(y)$。则称 $f$ 对于 ${+}_A$ 和 ${+}_B$ 满足可加性。在上下文对于 ${+}_A$ 和 ${+}_B$ 都很明确的情况下，通常简称为 $f$ 满足可加性，亦称 $f$ 为可加函数。

若上述函数 $f$ 满足：对于任意有限集 $\{x_i|x_i\in A,i=1\cdots n\}$，有 $f\left(\sum _{k=1}^n{x}_i\right)=\sum _{k=1}^{n}f(x_i)$，则称 $f$ 满足有限可加性。

若上述函数 $f$ 满足：对于任意可列集 $\{x_i|x_i\in A,i=1\cdots \mathrm{\infty }\}$，有 $f\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)$，则称 $f$ 满足可列可加性。

示例

• 定积分的可加性：
  设 $a\le b\le c$，那么

——积分区间是可加的。

• 集函数的可加性
  定义域为集类 $S$，值域为 $[0,\mathrm{\infty }]$ 上的广义实值集函数 $f$，若：

1. 对于任意 $A,B\in S$，有

则称 $f$ 为可加的。

2. 对于任意 $A_i\in S$, $i=1\cdots n$，有

则称 $f$ 为有限可加的。

3. 对于任意 $A_i\in S$, $i=1\cdots \mathrm{\infty }$，有

则称 $f$ 为可列可加的。