洛必达法则

#数学

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如果f(x),g(x)的导数在某点极限为同阶无穷小或无穷大时, 他们的比值肯定是个常数, 此时就可以用他们导数的比值近似代替原函数的比值

洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。该法则以法国数学家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但实际上是由瑞士数学家约翰·伯努利所发现。

洛必达法则可以求出特定函数趋近于某数的极限值。令 $c \in \bar{R}$ （扩展实数），两函数 $f (x), g (x)$ 在以 $x = c$ 为端点的开区间可微，

lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} \in \bar{R}

并且 $g^{'} (x) \neq 0$ 。

如果下式其中一者成立

lim_{x \to c} f (x) = lim_{x \to c} g (x) = 0

lim_{x \to c} | f (x) | = lim_{x \to c} | g (x) | = \infty

则称欲求的极限为未定式

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)}

此时洛必达法则表明：

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

对于不符合上述分数形式的未定式，可以通过运算转为分数形式，再以本法则求其值。以下列出数例：

(1) 当

lim_{x \to c} f (x) g (x)

满足条件

lim_{x \to c} f (x) = 0, lim_{x \to c} g (x) = \infty

lim_{x \to c} g (x) = 0, lim_{x \to c} f (x) = \infty

其中一者成立时，可以将未定式转为以下分数形式之一：

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{1 / g (x)}

或

lim_{x \to c} \frac{g (x)}{1 / f (x)}

(2) 当

lim_{x \to c} (f (x) - g (x))

满足条件

lim_{x \to c} f (x) = \infty, lim_{x \to c} g (x) = \infty

时，可以将未定式转为以下分数形式：

lim_{x \to c} \frac{1 / g (x) - 1 / f (x)}{1 / (f (x) g (x))}

(3) 当

lim_{x \to c} f (x)^{g (x)}

满足条件

lim_{x \to c} f (x) = 0^{+}, lim_{x \to c} g (x) = 0 lim_{x \to c} f (x) = \infty, lim_{x \to c} g (x) = 0

其中一者成立时，可以将未定式转为以下分数形式：

lim_{x \to c} \exp (lim_{x \to c} \frac{g (x)}{1 / \ln f (x)})

(4) 当

lim_{x \to c} f (x)^{g (x)}

满足条件

lim_{x \to c} f (x) = 1, lim_{x \to c} g (x) = \infty

时，可以将未定式转为以下分数形式：

lim_{x \to c} \exp (lim_{x \to c} \frac{\ln f (x)}{1 / g (x)})

注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。