无穷小

定义: 略
定理: $f(x)$具有极限$A$的充要条件是 $f(x)=A+\alpha$, 其中 $\alpha$ 为无穷小

无穷大

定义: 略

定理: 在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小

主部

设 $\alpha$ 及 $\beta$ 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，如果 $\beta =a+o(a)$,则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的主部

无穷小的比较

定义

若 $lim\frac{\beta }{\alpha }=0$, 则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小, 记作 $\beta =o(\alpha )$
若 $lim\frac{\beta }{\alpha }=\mathrm{\infty }$, 则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小, 记作 $\beta =O(\alpha )$
若 $lim\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$, 则 $\beta$ 是与 $\alpha$ 同阶的无穷小
若 $lim\frac{\beta }{{\alpha }^k}=c,(c\ne 0,k>0)$, 则 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的$k$阶的无穷小
若 $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$, 则 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小, 记作 $\beta =o(\alpha )$

无穷小的比较定理

1. $\beta$ 与 $\alpha$ 时等价无穷小的充分必要条件是: $\beta =\alpha +o(\alpha )$
2. 设 $\alpha \sim \tilde{\alpha },\beta \sim \tilde{\beta }$ , 且 $lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$ 存在, 则 $lim\frac{\beta }{\beta }=lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$

无穷小比较的推论

当 $x\to 0$ 时:

1. $\sin x\sim x$
2. $\tan x\sim x$
3. $\arcsin x\sim x$
4. $\arctan x\sim x$
5. $e^x-1\sim x$
6. $\ln (1+x)\sim x$
7. $(1+x{)}^n-1\sim nx$ 或者 $\sqrt[n]{(1+x)}-1\sim \frac{x}{n}$
8. $\sinh x\sim x$
9. $\tanh x\sim x$

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时:
$\cosh x\sim e^x$

与其他无穷小替换的时候, 需要考虑是否影响次阶, 详见泰勒公式