极限存在准则

夹逼定理

若数列 $x_{n}$ $y_{n}$ $z_{n}$ 从某项起满足 $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$ 且 $y_{n}$ $z_{n}$ 极限为a
则 ${x_{n}}$ 的极限存在, 且 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$

以上定理可以推广到函数的极限

根据夹逼定理, 可推导出第一个重要极限

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

单调有界函数列必有极限

由此可推导出第二个重要极限:

lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e

lim_{x \to - \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e

根据推论1可得

lim_{x \to - \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = \frac{1}{e}

别名: 柯西审敛原理

数列 ${x_{n}}$ 收敛的充分必要条件是:
对于任意给定的正数 $ϵ$ ,存在正整数N, 使得当 $m > N, n > N$ 时, 有 $$|x_n-x_m|<\epsilon$$