极限运算法则

极限运算属于线性函数运算
极限的运算满足可加性和可乘性

  1. 可加性：对于任意实数 x 和 y，如果函数 f(x) 和 f(y) 的极限都存在，那么 f(x)+f(y) 的极限也存在，并且有 $$\lim_{x \to a} [f(x) + f(y)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{y \to a} f(y)$$
  2. 可乘性：对于任意实数 c 和 x，如果函数 f(x) 的极限存在，那么 c⋅f(x) 的极限也存在，并且有 $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot f(y)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{y \to a} f(y)$$

极限与极限的运算(不考)

极限运算属于拓扑代数结构。满足交换律和结合律

  1. 交换律：如果函数 f(x) 在某个点 x0 的附近有定义，那么极限运算满足交换律，即$$\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to x_0} f(x, y) = \lim_{y \to x_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)$$
  2. 结合律：对于多个函数的极限运算，满足结合律，即 $$\lim_{x \to x_0} \left(\lim_{y \to x_0} f(x, y)\right) = \lim_{y \to x_0} \left(\lim_{x \to x_0} f(x, y)\right)$$

同济版

  1. 两个无穷小的和是无穷小
    推论：有限个无穷小之和也是无穷小

  2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
    推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小
    推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小

究极傻逼废话版

1. 常数乘法法则：

limx→a[c⋅f(x)]=c⋅limx→af(x)

2. 和差法则：

limx→a[f(x)+g(x)]=limx→af(x)+limx→ag(x)limx→a[f(x)−g(x)]=limx→af(x)−limx→ag(x)

3. 乘法法则：

limx→a[f(x)⋅g(x)]=limx→af(x)⋅limx→ag(x)

4. 除法法则：

limx→a[f(x)g(x)]=limx→af(x)limx→ag(x)$$其中$$limx→ag(x)≠0

5. 乘幂法则：

\lim_{x \to a} [f(x)^n] = [\lim_{x \to a} f(x)]^n$$其中 $n$ 是常数。 ## 6. **根式法则**： - $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$，其中 $n$ 是正整数。 ## 7. **复合函数极限法则**： - $\lim_{x \to a} f[g(x)] = \lim_{x \to a} f(u) \quad \text{(当} \lim_{x \to a} g(x) = u \text{存在时)}$。 ## 8. **极限的乘积与商的性质**： 若 $$\lim_{x \to a} f(x) = A,\lim_{x \to a} g(x) = B$$ 则： $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$$$$\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}$$其中 $B \neq 0$。