行列式

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| \begin{matrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} | = | \begin{matrix} x_{11} & x_{11} + x_{12} \\ x_{21} & x_{21} + x_{22} \end{matrix} |

c \cdot | \begin{matrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} | = | \begin{matrix} c \cdot x_{11} & x_{12} \\ c \cdot x_{21} & x_{22} \end{matrix} |

| \begin{matrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} | = - | \begin{matrix} x_{21} & x_{22} \\ x_{11} & x_{12} \end{matrix} |

| \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{matrix} | = x_{11} | \begin{matrix} x_{22} & x_{23} \\ x_{32} & x_{33} \end{matrix} | + x_{12} | \begin{matrix} x_{21} & x_{23} \\ x_{31} & x_{33} \end{matrix} | + x_{13} | \begin{matrix} x_{21} & x_{22} \\ x_{31} & x_{32} \end{matrix} |

关键字抽取：

| A | = | a_{i j} | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \sum (- 1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}

| A | = \sum {(- 1)}^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}} = \underset{(3)}{\underset{⏟}{\overset{(2)}{\overset{⏞}{{(- 1)}^{k 1}}} \overset{(1)}{\overset{⏞}{a_{11} a_{22} \dots a_{n n}}} + \dots + {(- 1)}^{k 2} a_{12} a_{2 n} \dots a_{n 1}}}

Question

$p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ 是数字 $1 \dots n$ 的一个全排列。

Quote

全排列，就是不遗漏，不重复的将所有数字排在一起。

从n个不同元素中任取 $m (m \leq n)$ 个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。当 $m = n$ 时所有的排列情况叫全排列。

公式：全排列数 $f (n) = n!$ (定义 $0! = 1$ )

\begin{matrix} 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \\ p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{5} \end{matrix}

（1）一个全排列，对应了一组 $a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}}$

2 1 4 5 3 ⟹ a_{12} a_{21} a_{34} a_{45} a_{53}

（2）系数到底是正数还是负数，取决于幂指数的值，而它可以由全排列决定。全排列就能决定系数是+1，还是-1

2 1 4 5 3 ⟹ {(- 1)}^{t} a_{12} a_{21} a_{34} a_{45} a_{53}

幂指数的值被称为逆序数。就是用相邻对换的方式，将全排列，变为顺序排列所用的次数。

下面，我们就来计算一下全排列 $2 1 4 5 3$ 的逆序，首先将前两个位置上的数2 1进行比较，可以看到，前面的数比后面的数大，因此需要交换顺序，此时交换次数为1，寻找一对逆序数，完成交换，交换数+1，直到变成顺序排列。发送的总交换次数为逆序数。（冒泡排序？）

一个全排列 $2 1 4 5 3 ⟹ a_{12} a_{21} a_{34} a_{45} a_{53}$ ；除此以外，也对应了一个逆序数。

1 2 3 ⟹ (- 1)^{0} a_{11} a_{22} a_{33}

从而确定系数是+1还是-1。

3! {\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & _{t = 0} \end{matrix} ⟹ (- 1)^{0} a_{11} a_{22} a_{33} \\ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & _{t = 1} \end{matrix} ⟹ (- 1)^{1} a_{11} a_{23} a_{32} \\ 2 1 3_{t = 1} ⟹ (- 1)^{1} a_{12} a_{21} a_{33} \\ \begin{matrix} 2 & 3 & 1 & _{t = 2} \end{matrix} ⟹ (- 1)^{2} a_{12} a_{23} a_{31} \\ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 & _{t = 2} \end{matrix} ⟹ (- 1)^{2} a_{13} a_{21} a_{32} \\ \begin{matrix} 3 & 2 & 1 & _{t = 3} \end{matrix} ⟹ (- 1)^{3} a_{13} a_{22} a_{31} \end{matrix}

（3）而所有全排列的个数，就是多项式的项数、123三个数的全排列，就有 $3!$ ，6个。

\begin{array}{r} (- 1)^{0} a_{11} a_{22} a_{33} (- 1)^{1} a_{11} a_{23} a_{32} (- 1)^{1} a_{12} a_{21} a_{33} \\ (- 1)^{2} a_{12} a_{23} a_{31} (- 1)^{2} a_{13} a_{21} a_{32} (- 1)^{3} a_{13} a_{22} a_{31} \end{array}

将此各项加起来，其结果就是 $| A |_{3}$ 三阶行列式的值.