泰勒公式

#数学

用一些简单的函数近似代替复杂的函数表达(有时候也不见得简单)

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) + \frac{f^{''} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n}

写成通项形式:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n}

其中 $x_{0}$ 为选择的展开点, $x_{0}$ 的选取不是固定的, 但是当从低阶导数开始累加展开时, $x_{0}$ 点的附近最先与原函数的值接近

如果选取的 $x_{0}$ 离所求的点或区间过远则可能需要很高阶展开才能与原函数贴近, 所以在展开阶数固定的情况下, 正确选取 $x_{0}$ 有助于提高近似程度

像麦克劳林这个憨批就是把 $x_{0}$ 选到0点, 这样比较万金油, 但是对某些情况达到相同的精度会增加计算量