数列的极限

精确的定义一般又臭又长, 以下内容摘于同济版, 经典不说人话, 故稍作简化

数列极限定义

设 $x_n$ 为一数列，如果存在常数a 对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当 $n>N$ 时不等式 $|x_n-a|<\epsilon$ 都成立，那么就称常数a是数列 $x_n$ 的极限，数列 $x_n$ 收敛于a
如果不存在这样的常数a,则数列没有极限

收敛数列性质

对于收敛于a的数列 $x_n$ 有以下性质

1. 极限唯一
2. 一定有界
3. 保号性：若a>0或a<0, 则存在正整数N, 当n>N时, 都有 $x_n>0$ 或 $x_n<0$
4. $x_n$ 的任意子数列也收敛于a

函数的极限

定义

极限用于描述函数在某个点附近的行为。函数 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时的极限可以表示为：

这表示当 $x$ 无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 的值无限接近 $A$

又臭又长的定义

1. 自变量趋于有限值时 函数的极限
   设函数f(x)在点 $x_0$ 某一去心邻域内有定义,如果存在常数A, 对于有任意给定的正数 $ϵ$ 总存在正整数δ, 使得当x满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 时对应的f(x)都满足| $f(x)-A|<ϵ$ ,那么常数A就叫做f(x)当 $x\to x_0$ 时的极限, 记作

2. 自变量趋于无穷时 函数的极限
   设函数f(x) 当|x|大于某一正数时有定义. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数 $ϵ$
   , 总存在正数X, 使得当$|x|>X$时, $|f(x)-A|<ϵ$

3. 邻域
   设 $x_0\in R$ , $\delta >0$ 开区间 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 称为 $x_0$ 的δ邻域, 记作 $U(x_0,\delta )$ ,
   去心邻域记作 $U^{°}(x_0,\delta )$

函数极限性质

如果 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$ 存在, 则

1. 极限唯一
2. 一定有界
3. 函数极限的局部保号性
4. f(x)上的数列收敛且极限也为A