级数

  1. 级数的概念：

    • 定义：级数是由一列数相加而得到的无穷和的表达式
    • 部分和与数列之间的关系

  2. 级数收敛与发散：

    • 收敛级数：当级数的部分和随着项数增加而趋于一个有限的极限时，称该级数为收敛级数
    • 发散级数：当级数的部分和随着项数增加而趋于无穷大或无穷小时，称该级数为发散级数
    • 收敛级数的条件：比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等

  3. 常见级数：

    • 等比数列级数：如几何级数
    • 调和级数：形如 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 的级数
    • 幂级数：形如 ∑(a_n * x^n)，其中 a_n 是数列，x 是变量
    • Taylor级数：函数的幂级数展开
    • Fourier级数：用三角函数展开周期函数

  4. 级数的运算：

    • 级数的加法与减法
    • 级数的乘法
    • 级数的除法

  5. 绝对收敛与条件收敛：

    • 绝对收敛：级数的各项取绝对值后收敛
    • 条件收敛：级数本身收敛，但去掉绝对值后不再收敛

  6. 幂级数的收敛域：

    • 幂级数的收敛半径与收敛区间

  7. 级数收敛的应用：

    • 泰勒级数在函数展开中的应用
    • Fourier级数在信号处理与振动分析中的应用