全排列

什么是行列式的全排列

行列式的全排列指的是对于一个n阶方阵A，将其n个元素按照某种顺序进行排列的所有可能性。每一种排列方式都是矩阵的一个全排列。
例如，对于一个3阶方阵A，其元素为a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32和a33。那么A的全排列共有3! = 3×2×1 = 6种可能性，分别为：

a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33
a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a33, a32
...
其中每一种排列方式都是矩阵的一个全排列。在计算行列式时，通常会考虑所有可能的全排列，并对每一种情况进行计算。

行列式的全排列公式：

det [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}] = \sum_{σ} (- 1)^{sgn (σ)} \cdot a_{1 σ (1)} \cdot a_{2 σ (2)} \cdot \dots \cdot a_{n σ (n)}

其中， $σ$ 是对于 $1, 2, \dots, n$ 的全排列， $sgn (σ)$ 是排列 $σ$ 的置换符号， $a_{i σ (i)}$ 是矩阵元素 $a_{i j}$ 中， $i$ 对应于排列 $σ$ 的第 $i$ 个位置。这是行列式全排列的严格表示。