逆矩阵

逆矩阵是指一个方阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。对于一个 $n\times n$ 的方阵 $A$，如果存在一个 $n\times n$ 的方阵 $B$，使得 $AB=BA=I$，其中 $I$ 是单位矩阵，则称矩阵 $A$ 是可逆的，而矩阵 $B$ 就是矩阵 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$。
逆矩阵在线性代数中具有重要的作用。它可以用来解线性方程组、计算行列式、求解线性变换等问题。当一个方程组有唯一解时，我们可以利用逆矩阵来求解该方程组的解。如果一个方程组没有唯一解或者没有解时，那么该方程组的系数矩阵就不是可逆的。
对于一个可逆的方阵，它的逆矩阵可以通过伴随矩阵法或高斯消元法来求解。伴随矩阵法通过计算原始矩阵的行列式和伴随矩阵来直接求解出逆矩阵。高斯消元法则通过行变换将原始矩阵转化为上三角形（或对角形），然后通过回代计算出逆矩阵。在实际应用中，需要注意处理特殊情况和优化方法，以提高计算效率和数值稳定性。