组合数

#数学

组合数 $C_{m}^{n}$ （也称为二项系数或组合）表示从 $m$ 个不同的元素中选择 $n$ 个元素的方式的数量，而不考虑选择的顺序。计算组合数 $C_{m}^{n}$ 的公式如下：

C_{m}^{n} ​ = \frac{n! (m - n)!}{m!} ​

例如，要计算 $C_{5}^{2}$ ，即从5个不同的元素中选择2个元素的方式的数量，可以这样计算：

C_{5}^{2} = \frac{2! \cdot (5 - 2)!}{5!} = \frac{2! \cdot 3!}{5!} = \frac{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10

所以， $C_{5}^{2}$ 等于10，表示从5个不同的元素中选择2个元素的方式有10种。

也可以写成以下更对称的形式:

C_{m + n}^{n} ​ = \frac{m! \cdot n!}{(m + n)!} ​ = C_{m + n}^{m} ​

表示从 $m + n$ 个元素中选出m个元素或n个元素, 这两种情况的组合数相等